Первые упоминания фамилии Савватеев
Самое надежное, что можно сказать по раннему бытованию фамилии: она относится к пласту фамилий, которые сложились из полных христианских имен, и Савватеев прямо приводят в таких перечнях как пример. Это указывает на привычный для России путь закрепления фамилии через церковное имя в семье.
Поскольку исходная база — крестильное имя Савватий, фамилия могла появляться в разных местах независимо друг от друга: там, где в приходе встречались Савватии, со временем возникали «савватеевы» семьи. В словарной традиции фамилию связывают именно с именем Савватий, а не с профессией или местностью.
Вариантность написания (Саватеев / Савватеев) тоже говорит о живой устной традиции: где-то имя и производная фамилия произносились с одним «в», где-то — с удвоением. В казачьих списках такие варианты ставят рядом как родственные формы.
По генеалогическим «деревьям» видно, что в современных семейных линиях рядом с Савватеевыми нередко встречаются и другие фамилии, связанные браками (например, Яновские, Жуковы и др.). Это не «первые упоминания», но хороший контекст: фамилия существует как обычная семейная, с мужской и женской формой, и активно участвует в ветвлениях рода. (пример по деревьям)
Если искать самые ранние реальные фиксации, они обычно находятся не в «словарных абзацах», а в массовых документах: метрических книгах, исповедных росписях, ревизских сказках. Для Савватеевых ключом будет проверка приходов, где чаще встречалось имя Савватий, и сопоставление записей по отчеству/фамилии в нескольких поколениях, чтобы увидеть момент закрепления фамилии.